Makalah Distribusi Probabilitas Diskrit

Distribusi Probabilitas Diskrit

Bab I. Pendahuluan

A. Latar Belakang

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.

Kejadian yang sering atau jarang terjadi dikatakan mempunyai peluang terjadi yang besar atau kecil. Keseluruhan nilai-nilai peluang biasa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi.

Tiga buah sebaran teoritis yang paling terkenal, diantaranya dua buah sebaran peluang yang diskrit dan sebaran yang kontinyu. Kedua sebaran yang teoritis yang deskrit itu ialah sebaran binomial dan sebaran Poisson. Sebaran kontinyu nya adalah sebaran normal.

2.    Pengertian Distribusi Poisson

Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi,Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variable random (variable acak) diskrit.

Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. fungsi distribusi probabilitas diskrit yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis.
Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas Binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. namun demikian, untuk suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

Distribusi Poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang. Distribusi ini juga bisa dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binom, N cukup besar sedangkan  = peluang terjadinya peristiwa A, sangat dekat dengan nol sedemikian sehingga λ = Np  tetap, maka distribusi binom didekati oleh distribusi Poisson.

            Satu-satunya parameter  distribusi Poisson adalah λ, yaitu mean dan variansi, menyatakan derajat hitungan dalam satuan waktu atau tempat. Apabila satuan tempat atau waktu berubah dengan derajat relatif tetap, maka harga λ berubah secara proporsional.

   Asumsi sebaran Poisson :

1.    Terdapat n tindakan bebas dimana n sangat besar,

2.    Hanya satu keluaran yang dipelajari,

3.    Terdapat peluang yang konstan dari munculnya kejadian setiap tindakan,

4.    Peluang lebih dari satu keluaran pada setiap tindakan sangat kecil atau dapat diabaikan.

Sebaran Poisson merupakan sebaran peluang dari peubah acak Poisson X, yang menyatakan jumlah keberhasilan dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah :

P ( X :  ) = , x = 0,1,2,…

Dimana µ adalah rata-rata keberhasilan selama selang waktu atau daerah tertentu dan e = 2,71828 .. (bilangan alami).

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :

1.    Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah

2.    Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat   dan luas daerah yang sempit

3.    Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan

Definisi  Distribusi Peluang Poisson :

e : bilangan natural = 2.71828…

x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel

m :  rata-rata keberhasilan

Perhatikan rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson hitung dari rata-rata populasi (m)

Tabel Peluang Poisson

Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164). Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial

poisson(2; 4.5) = 0.1125

poisson(x < 3; 4.5) = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)

= 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736

poisson(x > 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +…+ poisson(15;4.5)

atau

= 1 – poisson(x £ 2)

= 1 – [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]

= 1 – [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 – 0.1736 = 0.8264

PENGGUNAAN DISTRIBUSI POISSON

Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal:

a). menghitung Probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari:

Kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank

Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol.

banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruangangkasa atau banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.

jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik

Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.

distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang.

Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.
b). Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1).

Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut :

a. jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S. Di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.

b. menghitung di daerah terpisah adalah bebas.

c. kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.

RUMUS DISTRIBUSI POISSON

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

Rumus Probabilitas Poisson Suatu Peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan:

P(X) = µ_X . e_µ / x!

Keterangan: P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson

µ = Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p

e = Bilangan konstan = 2,71828

X = Jumlah nilai sukses

P = Probabilitas sukses suatu kejadian

! = lambang faktorial

Bab II. Pembahasan

1.    Distribusi Diskrit

Distribusi probabilitas uniform diskrit

Algoritma

Bangkitkan U(0,1)

Dapatkan X = a+(b-a+1)*U

Contoh:

–       Sebuah perusahaan bakery membuat suatu kelompok jenis donat yang dijual ke toko-toko dengan distribusi diskrit uniform dengan kebutuhan harian maksimum 100 unit dan minimum 40 unit.

Tentukan bilangan acak dari distribusi diskrit uniform dengan a = 77 z0 = 12357 dan m = 128

2.    Distribusi Poisson

Algoritma

Hitung a, b =1 dan i =0 

Bangkitkan Ui+1= U(0,1)

Ganti b = bUi+1

Jika b<a maka dapatkan X = i dan jika tidak lanjutkan ke langkah 5

Ganti i = i+1 kembali ke langkah 2

Contoh:

Suatu kejadian berdistribusi poisson dengan rata-rata 3 kejadian perjam dan terjadi selama periode waktu 1,4 jam.

Tentukan bilangan acak dari distribusi poisson dengan a = 17 z0 = 12357 dan m = 1237

3.    Distribusi Binomial

Metode transformasi dari distribusi binomial

Dengan mempergunakan fungsi densitas binomial yang dinyatakan dengan :              , k = 0,1, 2 .. n

Contoh

Dari suatu distribusi binomial, diketahui p =0,5 dan n =2.

Tentukan bilangan acak dari distribusi binomial dengan a = 77 z0 = 12357 dan m = 127.

4.    Distribusi Geometri

Algoritma

Bangkitkan U(0,1)

Dapatkan X = ln(U)/ln(1-p)

Contoh

Pada seleksi karyawan baru sebuah perusahaan terdapat 30 % pelamar yang sudah mempunyai keahlian komputer tingkat advance dalam pembuatan program. Para pelamar diinterview secara insentif dan diseleksi secara acak.

Tentukan bilangan acak dengan a = 43, m = 1237 dan z0 = 12357.

5.    Distribusi Kontinu

Distr probabilitas uniform kontinu

Algoritma

Bangkitkan U(0,1)

Dapatkan X = a+(b-a)*U

Contoh

Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi pelayanan telponnya berdistribusi uniform kontinu dengan minimal waktu 3 menit dan maksimal 5 menit. Tentukan bilangan dengan a = 173  z0 = 12357 dan m = 1237.

6.    Distribusi Eksponensial

Algoritma

Bangkitkan U(0,1)

Dapatkan X 

Dengan  rata-rata dengan nilai > 0

Contoh

Pada suatu sentra telpon ternyata distribusi penerimaan telponnya berdistribusi eksponensial dengan mean = 0,1 menit. Tentukan bilangan 10 acak dengan a = 173  z0 = 12357 dan m = 1237.

7.    Distribusi Normal

Algoritma

Bangkitkan U1,U2= U(0,1)

Hitung V1= 2U1-1 dan V2= 2U2-1

Hitung W = V12 + V22

Jika W > 1 maka kembali ke langkah 1 dan jika tidak lanjutkan ke langkah 5

Contoh

Sebuah rumah sakit berniat mempelajari penggunaan suatu alat pada ruang emergency. Jika diketahui bahwa lamanya seorang pasien yang di’treat’ menggunakan alat tsb berdistribusi normal dgn mean 0.8 jam dan standard deviasi 0.2 jam, tentukan bilangan acak yang mewakili lamanya penggunaan alat tersebut oleh 6 orang pasien.

8.    Distribusi Gamma

Algoritma

Bangkitkan U1 dan U2

X = -b ln (U1 * U2)

            di mana b adalah parameter.

Contoh:

Mesin pada suatu pabrik perlu diperbaiki setiap saat ‘breakdown’ dengan biaya $100/hari. Jika lama perbaikan mesin berdistribusi gamma dengan parameter a = 2 dan b = 1/3, tentukan rata-rata biaya untuk 30 kali ‘breakdown’, jika diketahui mesin breakdown ke 29 kali mengalami lama perbaikan selama 0.38 hari dengan rata-rata lama perbaikan 0.68 hari dgn variansi S2 = 0.02.

            Jawab:

            U1 = 0.818

            U2 = 0.322

            X30     = -b ln (U1 * U2)

                        = – 1/3 ln (0.818 * 0.322)

                        = 0.445 hari

            \         Biaya untuk memperbaiki mesin yg breakdown ke 30 kali adalah $100 x 0.445 hari = $ 44.5

                                                                           X30 – X29

            Rata-rata ke 30 kali = X30  = X29 +

                                                                                 30

                                                                           0.445 – 0.38

                                                            = 0.68 +

                                                                                 30

                                                            = 0.68 + 0.0022

                                                            = 0.6822

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Distribusi Probabilitas Diskrit adalah sebuah daftar yang berisi seluruh hasil dari eksperimen dan probabilitas yang berkaitan dengan setiap hasi tersebut. Sedangkan Distribusi Normal digunakan untuk mempelajari Distrbusi probabilitas kontinu, (variabel acak kontinu diperoleh dengan cara mengukur sesuatu, seperti : tinggi badan, berat badan, dll. ).

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.

Kejadian yang sering atau jarang terjadi dikatakan mempunyai peluang terjadi yang besar atau kecil. Keseluruhan nilai-nilai peluang biasa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi.