Makalah Statistika Terapan – Distribusi Frekuens dan Probabilitas

Bab I. Pendahuluan

A. Latar Belakang

Kinerja suatu perusahaan yang mengalami kemajuan yang sangat pesat dilatarbelakangi dengan beberapa faktor penunjang yang menyebabkan perusahaan tersebut mengalami kemajuan. Faktor utamanya adalah perusahaan yang menghasilkan produk yang berkualitas, untuk hasil yang berkualitas harus melakukan perhitungan-perhitungan dan pengambilan data atau sampel untuk mengetahui peluang-peluang yang akan terjadi pada perusahaan tersebut atau pada hasil produknya. Hal ini besar kaitannya dengan teori probabilitas. Probabilitas dan statistik mempunyai hubungan yang erat. Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa atau yang bisa disebut juga event yang akan terjadi dimasa mendatang dalam dunia industri yang dikelola. Manfaat dari probabilitas dalam dunia industri adalah untuk mengambil suatu keputusan yang tepat, seperti peluang produk yang dihasilkan perusahaan (sukses atau tidak). Teori probabilitas menyimpan materi-materi yang bisa dipergunakan untuk kehidupan sehari-hari dalam dunia industri maupun tidak, seperti distribusi frekuensi, ukuran pemusatan dan penyebaran, distribusi binomial, distribusi poisson, distribusi hipergeometrik, distribusi normal, dan probabilitas.

Distribusi frekuensi adalah pengelompokkan data yang disajikan dalam bentuk daftar yang berisi kelas interval dan jumlah obyek (frekuensi) yang termasuk dalam kelas interval. Distribusi frekuensi dipergunakan untuk mempermudah perhitungan dan pengolahan data. Alasan digunakannya distribusi frekuensi adalah mengetahui parameter data yang telah dihitung dan distribusi frekuensi juga bermanfaat dalam kegiatan yang meliputi pengolahan data, PT.Ghozkia Bangun Sarana akan membuat jam tangan dengan terlebih dahulu mengambil sampel mengukur pergelangan tangan manusia sebanyak 30 sampel. Data-data yang telah diamati dan dibuat akan diolah dengan menggunakan perhitungan distribusi frekuensi. Distribusi frekuensi pada dasarnya sebagian besar dipergunakan pada perhitungan ukuran pemusatan dan penyebaran.

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud distribusi frekuensi?
2. Apa yang dimaksud dengan probabilitas, permutasi dan kombinasi?

C. Tujuan

1. Untuk mengetahui pengertian distribusi frekuensi
2. Untuk mengetahui pengertian probabilitas, permutasi dan kombinasi

Bab II. Landasan Teori

A. Distribusi Frekuensi

1. Pengertian Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi adalah pengelompokan data ke dalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam tiap kelas. Distribusi frekuensi merupakan salah satu bentuk klasifikasi data, yaitu klasifikasi data secara kuantitatif.

Di dalam statistik deskriptif kita selalu mengusahakan agar data dapat disajikan dalam bentuk yang lebih berguna, lebih mudah dipahami dan lebih cepat dimengerti. Jika data yang ada hanya sedikit, kita tidak mengalami kesulitan untuk membaca dan mengerti angka-angka itu, tetapi apabila data yang tersedia banyak sekali jumlahnya, maka untuk mengerti data tersebut kitaakan mengalami kesulitan. Untuk memudahkannya data harus disusun secara sistematis atau teratur kedalam distribusi frekuensi.

Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi

Contoh: Penjualan agen tiket PT Garuda per hari dalam jutaan rupiah

2.      Menentukan Jumlah Kelas

K = 1 + 3,3 log n

   = 1 + 3,3 Log 80

   = 7,28 ———Ø 7

3.      Mencari Range

Nilai Terkecil  : 5,45

Nilai Terbesar : 37,82

Range  = Nilai terbesar – Nilai terkecil

= 37,82 – 5,45

= 32,37 ………..Ø 32

4.      Menentukan Panjang Kelas

Panjang Kelas = Range / Jumlah Kelas        

= 32/7

= 4,57 …………….Ø 5

5.      Menentukan Kelas

2.1.2    Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi

Cara untuk melukiskan distribusi frekuensi terdiri dari beberapa cara yaitu:

a.      Distribusi Frekuensi dalam Bentuk Grafik Poligon( Poligon Frequency)

Distribusi frekuensi dalam bentuk grafik poligon terbagi menjadi 2 yaitu grafik poligon data tunggal dan grafik poligon data kelompokan.

b.      Distribusi Frekuensi dalam Bentuk Grafik Poligon Data Kelompokan

c.       Distribusi Frekuensi dalam Bentuk Grafik Histogram (Histogram Frequency)

Distribusi frekuensi dalam bentuk grafik poligon terbagi menjadi 2 yaitu grafik poligon data tunggal dan grafik poligon data kelompokan.

2.1.3    Macam Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi ada beberapa macam, diantaranya:

1.      Ditinjau dari jenisnya

a.       Distribusi frekuensi numerik

b.      Distribusi kategorikal

2.      Ditinjau dari nyata tidaknya frekuensi

a.       Distribusi frekuensi absolut

b.      Distribusi frekuensi relatif

3.      Ditinjau dari kesatuannya

a.       Distribusi frekuensi satuan

b.      Distribusi frekuensi kumulatif

Distribusi frekuensi numerik dan kategorikal

Distribusi frekuensi numerik adalah Distribusi frekuensi yang didasarkan pada data-data kontinum yaitu data yang berdiri sendiri dan merupakan suatu deret hitung, sedangkan yang dimaksud dengan Distribusi frekuensi kategorikal adalah Distribusi frekuensi yang didasarkan pada data-data yang terkelompok. Jika data masih berbentuk kontinum, maka harus diubah lebih dahulu menjadi data kategorikal dan selanjutnya beru dicari frekuens masing-masing kelompok.

Contoh:

Penelitian terhadap nilai pembaca S1 Jurusan Teknik Informatika untuk mata kuliah statistik pada suatu perguruan tinggi. Dari hasil pengambilan sampel secara random(acak) terambil sampel sebanyak 30 nilai statistik.

Dari sampel tersebut diperoleh data dengan penyebarannya sebagai berikut:

Pada contoh diatas merupakan contoh Distribusi frekuensi numerik. Mengingat Distribusi frekuensi numerik didasarkan padadata apa adanya maka ada kemungkinan daftar Distribusi akan panjang (terutama untuk data yang mempunyai rentangan panjang). Jika hal ini terjadi maka usaha yang semula bertujuan mempermudah dalam membaca data melalui penyusunan distribusi frekuensi tidak akan tercapai. Hal ini disebabkan karena daftar distribusi masih panjang yang berkemungkinan besar masih mengacaukan pembaca. Untuk mengatasi masalah tersebut dibuatlah distribusi frekuensi kategorikal yaitu data yang sudah dikelompokkan seperti tabel dibawah ini:

Perubahan data numerik ke data kategorikal harus menggunakan aturan-aturan tertentu, itu berarti bahwa pengelompokkan tersebut harus memuat aturan-aturan tertentu, sehingga tidak akan terjadi suatu rentangan atau kelompok yang tidak berfrekuensi.

Tiga hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kelas bagi distribusi frekuensi kategorikal:

1. Jumlah kelas
2. Lembar kelas
3. Batas kelas

a.      Jumlah kelas

Tidak ada aturan umum yang menentukan jumlah kelas. H.A. Sturges pada tahun 1926 menulis artikel dengan judul: “The Choice of a Class Interval” dalam Journal of the American Statistical Association, yang mengemukakan suatu rumus untuk menentukan banyaknya kelas sebagai berikut:

K = 1 + 3,3 log n

Dimana:

K = banyaknya kelas

n = banyaknya nilai observasi

Rumus ini disebut Kriterium Sturges dan merupakan suatu perkiraan tentang banyaknya kelas. Misalnya data dengan n = 100, maka banyaknya kelas K adalah sebagai berikut:

K = 1 + 3,3 (2) = 1 + 6,664 = 7,644 – 8

Jadi, jumlah kelas/kelompok yang dianjurkan pada data di atas adalah 8.

Ada kemungkinam jumlah kelompok hasil perhitungan rumus di atas merupakan pecahan, tetapi di sini untuk memudahkannyakita akan melakukan pembualatan. Langkah berikutnya adalah mencari rentangan (interval) tiap kelas.

b.      Lebar kelas atau interval

Disarankan interval atau lebar kelas adalah sama untuk setiap kelas. Pada umumnya, untuk menentukan besar kelas (panjang interval) digunakan rumus:

Dimana:

c = lebar kelas

k = banyaknya kelas

= nilai observasi terbesar

= nilai observasi terkecil

Nilai 48-54 disebut kelas interval. Urutan kelas interval disusun mulai data terkecil hingga terbesar. Urutan kelas interval pertama adalah 48-54, dan urutan kelas unterval kedua  adalah 55-61, demikian seterusnya. Semua kelas interval berada di kolom sebelah kiri. Sedangkan nilai yang berada disebelah kanan adalah nilai frekuansi yang disingkat f. f = 1 berarti yang mempunyai nilai antara 48 sampai 58 sebanyak 1. Nilai-nilai dikiri kelas interval (48,55,62,69,76,83,90) disebut batas bawah kelas. Nilai 48 disebut batas bawah kelas pertama, nilai 55 disebut batas bawah kelas kedua, dan sterusnya. Sedangkan nilai-nilai yang di kanan kelas interval (54,61,68,75,82,89,96) disebut batas atas kelas.

Selisih positif antara batas bawah dengan batas atas harus sama yang disebut lebar kelas.

Misalnya kita memiliki data terbesar 95 dan data terkecil 10 dengan jumlah kelas 9, maka di dapat:

Pembulatan pada penentuan interval sebaiknya ke atas, walaupun angka di belakang koma kecil, karena pembulatan kebawah akan menanggung resiko yaitu ada data yang tidak masuk dalam kelompok yang telah ditentukan.

c.       Batas kelas

Batas kelas bawah menunjukkan kemungkinan nilai data terkecil pada suatu kelas. Sedangkan batas kelas atas mengidentifikasi kemungkinan nilai terbesar dalam suatu kelas.

Contoh:

Berikut ini adalah data tenteng nilai pembaca:

Jawab

• Langkah 1 urutkan data dari yang terkecil hinga yang terbasar

• Langkah 2 tentukan nilai max dan min

Nilai max = 53 dan nilai min = 37

• Langkah 3 tentukan range (selisih nilai max dan min)

Range = 53-37=16 (kelas interval harus mampu menampung semua data observasi)

• Langkah 4 tentukan jumlah kelas dengan menggunakan rumus sturges

k = 1 + 3,3 log n

= 1 + 3,3 log 20 = 1 + 3,3 * 1,3 = 5,29  — 5

• Langkah 5 tentukan c (lebar kelas/interval)
• Langkah 6 membuat tabel distribusi frekuensi

Distribusi frekuensi absolut dan relative

Distribusi frekuensi absolut adalah suatu jumlah bilangan yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Distribusi ini disusun berdasarkan data apa adanya, sehingga tidak menyulitkan peneliti dalam membuat distribusi ini.Sedangkan Distribusi frekuensi relatif adalah suatu jumlah persentase yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Dalam hal ini pembuat distribusi terlebih dahulu harus dapat menghitung persentase pada masing-masing kelompok. Distribusi akan memberikan informasi yang lebih jelas tentang posisi masing-masing bagian dalam keseluruhan, karena kita dapat melihat perbandingan antara kelompok yang satu dengan kelompok yang lainnya.walaupun demikian kita masih belum memperoleh gambaran yang jelastentang penyebab adanya perbedaan tersebut. Berikut adalah rumus mencari Distribusi frekuensi relatif:

Tabel frekuensi relatif dan frekuensi kumulatif

Contoh:

Dari soal diatas didapat frekuensi relatifnya adalah:

 Contoh lain:

Data pengukuran tinggi badan atas 100 orang. Setelah dilakukan penyederhanaan data(tinggi badan dikelompokkan menjadi 7 kelompok/kelas), maka distribusi frekuensi absolut dan relatif dapat dikihat pada tabel dibawah ini:

Distribusi frekuensi satuan dan kumulatif

Distribusi frekuensi Satuan adalah frekuensi yang menunjukan berapa banyak data pada kelompok tertentu. Contoh-contoh Distribusi frekuensi diatas menunjukkan Distribusi frekuensi satuan, baik yang numerik maupun relatif. Yang dimaksud distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada sekelompok nilai tertentu mulai dai kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut.

2.2       PROBABILITAS

2.2.1    Pengertian Probabilitas

Probabilitas adalah hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang mungkin terjadi dalam jangka panjang jika kondisi stabil. Probabilitas terbagi menjadi 2 yaitu permutasi dan kombinasi

Dalam pengaturan beberapa unsur kita akan menghadapi beberapa masalah. Masalah tersebut erat kaitannya dengan kombinasi dan permutasi. Jadi simplenya, kombinasi dan permutasi biasanya digunakan untuk menentukan cara beberapa unsur tersebut akan diatur. Yang membedakan kombinasi dan permutasi adalah untuk kombinasi urutan tidak membedakan, sedangkan untuk permutasi, urutan membedakan. Contohnya, saat kita mengambil 2 bola dari sebuah wadah yang berisi 10 bola dengan komposisi 5 bola merah dan 5 bola putih. Bila kita mengasumsikan bahwa saat kita mengambil 2 bola tersebut, yang terambil pertama putih, lalu yang terambil kedua merah, dengan saat kita mengambil bola pertama merah dan yang kedua tersebut putih, dan 2 kejadian tersebut dianggap sama, maka disebut dengan kombinasi. Jika kedua kejadian tersebut diangap beda, maka disebut permutasi. Contoh lain untuk permutasi adalah ketika pemilihan panitia, ataupun jabatan-jabatan dalam suatu organisasi maupun instansi.

2.2.2    Permutasi

Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu aturan tertentu.

nPr = 

dengan n adalah jumlah unsur, dan r adalah unsur yang akan diambil.

contoh soal:

Misalkan ada 10 mahasiswa, akan diambil 4 untuk menjadi inti dari sebuah kepanitian, berapakah caranya?

solusi:

10P4 = P(10;4) = n!/(n-r)!

                         = 10!/(10-4)!

                         = 3628800/720

                         = 5040

Jadi ada 5040 cara untuk mengambil 4 mahasiswa dari 10 mahasiswa.

2.2.3    Kombinasi

 Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tertentu

dengan n adalah jumlah unsur dan r adalah unsur yang akan diambil.

contoh soal:

Tentukan kombinasi-5 dari 8 huruf yang berbeda, misalnya ABCDEFGH.

solusi:

Karena r = 5 dan n = 8 maka kombinasi-5 dari 8 huruf ABCDEFGH adalah

8C5 = C(8; 5) = n!/(n-r)!r!

            = 8!/(8-5)!5!

            = 40320/(6×120)

            = 56

Jadi ada 56 cara menyusun 5 huruf dari 8 huruf ABCDEFGH tersebut.

2.2.4    Mnentukan Ruang Sampel Percobaan

Percobaan Statistika

 Percobaan pelemparan sebuah dadu bermata enam.

Jika sebuah dadu mata enam di lemparkan maka kejadian acak yang akan muncul ada enam buah yaitu munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6

Percobaan pelemparan sekeping uang logam

Jika sekeping uang logam dilemparkan maka kejadian acak yang akan muncul ada dua yaitu : gambar (g) atau angka (a)

Percobaan pelemparan dua dadu

Jika dua buah dadu dilemparkan kejadian acak yang terjadi sebanyak 6 x 6 = 36 buah. Sebagaimana di buktikan pada tabel dibawah ini.

 Ruang Sampel dan Titik Sampel

Ruang sampel adalah himpunan yang unsur unsurnya merupakan hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Banyaknya ruang sampel di notasikan n(s)=N. Titik sampel adalah unsur-unsur yang terdapat di dalam ruang sampel.

Contoh:

Pelemparan dua buah uang logam, hasil yang mungkin muncul dapat dinayatakan dalam tiga cara yaitu :

a.    Diagram pohon

b.    Tabel

c.    Mendaftar

Penyelesaian:

a.    Dengan diagram pohon

                          A       :            AA

A

                          G       :            AG     

                          A       :            GA

G

                          G       :            GG

Ruang Sampel :

b.    Dengan Tabel

 Ruang Sampel :

c.    Dengan Mendaftar

Kejadian yang mungkin terjadi adalah:

(A,A),(A,G),(G,A),(G,G)

Ruang Sampel :  

BAB III

PENUTUP

3.1.1        KESIMPULAN

1.       Distribusi frekuensi adalah pengelompokan data ke dalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam tiap kelas. Distribusi frekuensi merupakan salah satu bentuk klasifikasi data, yaitu klasifikasi data secara kuantitatif.

2.       Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi yaitu menentukan jumlah kelas, mencari range, menentukan panjang kelas, menentukan kelas.

3.       Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi ada 3 yaitu bentuk grafik poligon (Poligon Frequensy), bentuk grafik poligon data kelompokan, bentuk grafik histogram (Histogram Frequency)

4.       Distribusi frekuensi ada beberapa macam, diantaranya ditinjau dari jenisnya (Distribusi frekuensi numeric, Distribusi kategorikal), ditinjau dari nyata tidaknya frekuensi (Distribusi frekuensi absolute, Distribusi frekuensi relatif), ditinjau dari kesatuannya (Distribusi frekuensi satuan, Distribusi frekuensi kumulatif).

5.       Probabilitas adalah hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang mungkin terjadi dalam jangka panjang jika kondisi stabil.

6.       Probabilitas terbagi menjadi 2 yaitu permutasi dan kombinasi.

7.       Permutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu aturan tertentu.

8.        Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tertentu

DAFTAR PUSTAKA

Ariaanang. 2013. “Makalah Statistik Distribusi Frekuensi”. https://ariaanang. wordpress.com/2013/06/18/makalah-statistik-distribusi-frekuensi/. Diakses Senin 21 September 2015

Dajan, Anto. Pengantar Metode Statistik jilid I, PT. Perdja. Jakarta: 1985

Meilia N. I. Susanti. S.T. M.Kom, Statistika Deskriptif & induktif , Graha Ilmu, 2010

Muhammad. 2012. “Kombinasi dan Permutasi”. http://batakngapak.blogspot.co.id /2012/06/kombinasi-dan-permutasi.html. Diakses Senin 21 September 2015

Prof. Drs. Mangkuatmodjo, Soegyarto. Pengatar Statistik, Rineka Cipta, Jakarta. 1997

Putra. 2012. “Pengertian Probabilitas”. http://putrasipagimbar.blogspot.co.id/2012/07 /pengertian-probabilitas.html. Diakses Senin 21 September 2015

Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika, Gramedia pustaka Utama, Jakarta, 1995